14. Equations dans ID –Problèmes

I) Equations

1)Notion d’équation

Activité

a)Compléter les égalités suivantes :

5 + ….= 17     ;     4 x ….. = 24     ;  30 – …..= 15

b)Pour chaque égalité remplacer chaque lettre pour que l’égalité soit vraie.

16 + x = 22   ;   3y = 36     ;  15 – z = 20

  Réponse

a)complétons : 5 + 12 = 17   ;  4 x 6 = 24   ;  30 – 15 = 15

b) Remplaçons les lettres

16 + x = 22  donc  x= 6    ; 3y= 36 donc y = 12    ;     15 – z = 20 donc z=-5

16 +x=22 est appelé une équation. x est appelé l’inconnue de l’équation.

Résoudre une équation c’est trouver la valeur de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie.

2) Exemple de résolution d’équations

Pour résoudre une équation  on utilise les règles sur les  égalités  et opérations

a) Equation de type a +x = b  

Résoudre l’équation

6 + x = 13

Méthode de résolution

On rétranche 6 aux deux membres de l’égalité , on  a :

• 6 + x = 13
•  6 + x -6 = 13 – 6
• 6 – 6+ x = 7
•  x= 7

On vérifie l’égalité en remplaçant x par sa valeur  : 6 + 7 = 13 (qui est une égalité vraie)

b) Equation de type  a-x=b

Résoudre l’équation  7 – x =4

Avec la même méthode on retranche 7 dans les deux membres de l’égalité. 

• 7 – x = 4
• 7 –x – 7 = 4 – 7
• 7 – 7  –x = -3
• -x = -3
• (-1). (-x) = (-1). (-3)
•  X= 3

c)Equation du type  a x = b

Résoudre l’équation 3x = 27

Pour résoudre cette équation on divise les deux membres de l’égalité par 3

• 3x = 27
• \frac{3x}{3}= \frac{27}{3}
• x= 9

II) Problème

Le périmètre d’un rectangle est de 24m. Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?

Résolution du problème

– Désignons par  l  la largeur du rectangle et par L sa longueur

On a L=2l. Or P=2(L+l)=2(2l+l)

Comme P= 24,on obtient l’égalité

•  2(2l +l) = 24
• 6l= 24
•  l = \frac{24}{6}
•  l =4

Vérifions : Pour l=4 et L = 2l = 2 x 4 = 8

   On a P= 2(8+4) = 2 x 12 = 24

• Solution du problème

La largeur est de 4 m et la longueur est de 8 cm

Conclusion

Pour résoudre un problème il faut :

• Repérer et désigner l’inconnue par une lettre
• Mettre en équation le problème
• Résoudre l’équation
• Vérifier la solution de l’équation
• Donner la solution du problème