3. Multiples et Diviseurs communs – PGCD et PPCM

I)Diviseurs communs de deux entiers naturels (PGCD)

1)Activité

Trouver tous les diviseurs de 36 et 15 puis écrire tous les diviseurs qui leur sont communs. (D₃₆ \bigcap D₁₅)

Réponse :

• D₃₆={1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;9 :12 ;18 ;36}
• D₁₅={1 ;3 ;5 ;15}
• D₃₆ \bigcap D₁₅={1 ;3}

Le plus grand commun diviseur de 36 et 15 est 3 ; on  note PGCD(36 ;15)=3

2)Recherche de PGCD de deux entiers naturels

• 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
• 270 = 2 × 135 = 2 × 3 × 45 = 2 × 3 × 3 ×15 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3³ × 5

PGCD (84 ;  270) = 2 × 3 = 6

On ne prend que les facteurs premiers qui apparaissent dans les deux décompositions et on les affecte du plus petit exposant

Règle :

Le PGCD de deux entiers naturels A et B s’obtient en faisant le produit de tous les facteurs communs apparus dans la décomposition en produits de facteurs premiers de A et B ,chaque facteur étant affecté de son plus petit exposant.

Exemple : A=2² × 3⁴ x 5³x 11      et B= 2³ × 3³ × 5 x 7

PGCD(A ; B)= 2² x 3³ x 5 =540

3)Nombres premiers entre eux

Trouver le PGCD(25 ; 21)

21=(1) x 3 x 7 et 25= (1) x 5² ; alors PGCD (21 ; 25) = 1.On dit que 21 et 25 sont deux nombres premiers entre eux car leur PGCD est égale à 1.

Définition 

Deux entiers naturels  premiers entre eux sont deux naturels dont leur PGCD est égale à 1.

Remarque 

Deux entiers naturels  premiers entre eux ne sont pas toujours des nombres premiers.

II)Multiples communs de deux entiers naturels -PPCM

1)Activité

Trouver tous les Multiples de 20 et 15 puis écrire tous des Multiples qui leur sont communs.

 (M₂₀ \bigcap M₁₅)

Réponse :

• M₂₀={0 ;20 ;40 ;60 ;80 ;100 ;120 ;140 ;160 ;180 ;200 ;220 ;240 ;…..}
• M₁₅={0 ;15 ;30 ;45 ;60 ;75 ;90 ;105 ;120 ;135 ;150 ;….}
• M₂₀ \bigcap M₁₅={0 ; 60 ;120}

Le plus Petit commun Multiple différent de zéro (0) de 20 et 15 est 60 ; on  note PPCM(20 ;15)=60

2)Recherche de PPCM de deux entiers naturels

Règle

Le PPCM de deux entiers naturels A et B s’obtient en faisant le produit de tous les facteurs communs apparus dans la décomposition en produits de facteurs premiers de A et B ,chaque facteur étant affecté de son plus grand exposant.

84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

270 = 2 × 135 = 2 × 3 × 45 = 2 × 3 × 3 ×15 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3³ × 5

PPCM(84 , 270 ) = 2² × 3³ × 5 × 7 = 3780

(On prend tous les facteurs premiers qui apparaissent et on les affecte du plus grand exposant)

Exemple : A=2² × 3⁴ x 5³x 11  et B= 2³ × 3³ × 5 x 7

PPCM (A ; B)= 2³ x 3⁴ x 5³ x 7 x 11 =237000

III)Application aux fractions

1) Simplification aux fractions

Le calcul du PGCD peut servir pour rendre une fraction irréductible. Pour cela, il faut calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur puis diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par le PGCD obtenu.

Par exemple pour simplifier la fraction  \frac{312}{845}  on calcule le PGCD de 312 et 845 puis on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce PGCD.

Exemple : PGCD(321 ; 845) = 13

Donc on divise le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne

\frac{312}{845} = \frac{24}{65}

2) Réduction au même dénominateur  de  deux fractions

Pour réduire au même dénominateur il est souvent intéressant de prendre comme dénominateur commun le PPCM des dénominateurs des fractions .

Exemple: Réduire au même dénominateur les fractions  et \frac{13}{12} et \frac{7}{12}

12=2²x 3  et 10= 2 x5

PPCM(12 ; 10) = 2² x 3 x 5= 60

60 est le dénominateur commun  alors \frac{12 X 5}{12 X 5} et \frac{7 X 6}{10 X 6}  =  \frac{65}{60} et \frac{42}{60}